母函数详解

母函数（Generating function）详解

在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

---

这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：

"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"

"母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. "

---

我们首先来看下这个多项式乘法：

由此可以看出:

1. x的系数是a₁,a₂,…a_{n的单个组合的全体。}

2. x²的系数是a₁,a₂,…a_n的两个组合的全体。

………

n. xⁿ的系数是a₁,a₂,….a_n的n个组合的全体（只有1个）。

由此得到：

母函数的定义：

对于序列a₀，a₁，a₂，…构造一函数：

称函数G(x)是序列a₀，a₁，a₂，…的母函数

---

这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：

第一种：

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？

考虑用母函数来接吻这个问题：

我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：

1个1克的砝码可以用函数1+x表示，

1个2克的砝码可以用函数1+x²表示，

1个3克的砝码可以用函数1+x³表示，

1个4克的砝码可以用函数1+x⁴表示，

上面这四个式子懂吗？

我们拿1+x²来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。（理解！）

不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：

"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"

---

1+x²表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x²表示质量为2的砝码取1个的情况。

这里说下各项系数的意义：

在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x²(想下为何？结合数学式子)。

---

所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：

(1+x)(1+x²)(1+x³)(1+x⁴)

=(1+x+x²+x³)(1+x³+x⁴+x⁷)

=1+x+x²+2x³+2x⁴+2x⁵+2x⁶+2x⁷+x⁸+x⁹+x¹⁰

从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）

例如右端有2x⁵ 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1。

---

接着上面，接下来是第二种情况：

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：

大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。

以展开后的x⁴为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；

即：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

这里再引出两个概念整数拆分和拆分数：

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。

整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。

---

现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：

#include<iostream>
usingnamespace std;
 
constint _max = 10001;
//c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
//c2是中间量，保存没一次的情况
intc1[_max], c2[_max];  
intmain()
{   //int n,i,j,k;
    int nNum;  //
    int i, j, k;
 
    while(cin >> nNum)
    {
       for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①
       {
           c1[i] = 1;
           c2[i] = 0;
       }
       for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②
       {
 
           for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③
              for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④
              {
                  c2[j+k] += c1[j];
              }
           for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤
           {
              c1[j] = c2[j];
              c2[j] = 0;
           }
       }
       cout << c1[nNum] << endl;
    }
    return 0;
}
 

我们来解释下上面标志的各个地方：

①、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x²+..xⁿ)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.

②、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。

③、j 从0到n遍历，这里j就是只一个表达式里第j个变量，比如在第二个表达式里：(1+x²+x⁴....)里，第j个就是x^2*j.

③k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。

④、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的

---

咱们赶快趁热打铁，来几道题目：

（相应题目解析均在相应的代码里分析）

1. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

代码：http://www.wutianqi.com/?p=587

这题大家看看简单不？把上面的模板理解了，这题就是小Case!

看看这题：

2. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

代码：http://www.wutianqi.com/?p=590

要说和前一题的区别，就只需要改2个地方。 在i遍历表达式时（可以参考我的资料---《母函数详解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~

3. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

代码：http://www.wutianqi.com/?p=592

这题终于变化了一点，但是万变不离其中。

大家好好分析下，结合代码就会懂了。

4. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

代码：http://www.wutianqi.com/?p=594

还有一些题目，大家有时间自己做做：

HDOJ：1709，1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152

---

附：

1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數：

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0

2．Matrix67大牛那有篇文章：什么是生成函数：

http://www.matrix67.com/blog/archives/120

3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇，我这里的图片以及一些内容都引至那。