LeetCode Longest Palindromic Substring 最长回文子字符串 两种方法分析解答

Longest Palindromic Substring

Given a stringS, find the longest palindromic substring inS. You may assume that the maximum length ofSis 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.

对于这道题，要怎么设计这个table就是非常难想到的事情。因为要利用一个二维数组，把二维数组的两个下标作为标示主串里面的两个字符位置，实在是够难想到的了。

什么时候使用动态规划法：

• Optimal substructure
• Overlapping subproblems

构建解的方法：

Characterize structure of optimal solution
Recursively define value of optimal solution
Compute in a bottom-up manner

如果是用暴力法的话，就需要O(n^3) 时间效率了，但是使用动态规划法，就只需要O(n^2)的时间复杂度了。

最难想的地方：P代表一个表，比较难想的就是P表的下标i和j代表原字符串中的两个前后下标s[i]和s[j]的位置。
如果P[i,j]为真，当且仅当si-1,si-2...sj-1,sj这一个子串都为palindrome。例如：s[] = skrdjdre那么P[2][6] = true，因为s[2]=r=s[6],且djd为回文。

不明白，可以看下表，动手填一填，未填出的都初始化为false,其中t代表填写true：

2014-1-24 Update

Leetcode有更新了，增加了两个大数据测试，一般使用vector容器的动态规划法超时了，而且也禁止了使用二维数组，会报错memory limit exceeded。

所以更新下动态规划法，使用3个一维数组，测试通过，不过时间大概为836ms，还是最下面的两边扩展计算的解法最优了。

class Solution {
public:
	string longestPalindrome(string s) 
	{
		int index = 0, len = 1;
		int table[3][1000] = {1};
		int last = -1; int cur = 1;
		for (int i = 0; i < s.length(); i++)
		{
			table[0][i] = 1;
		}

		for (int i = 1; i < s.length(); i++)
		{
			if (s[i] == s[i-1])
			{
				table[cur][i] = 2;
				index = i-1;
				len = 2;
			}
			else table[cur][i] = 0;
		}

		for (int d = 2; d < s.length(); d++)
		{
			cur = (cur+1)%3; last = (last+1)%3;

			for (int i = 0, j = d; j < s.length(); i++, j++)
			{
				if (s[i] == s[j] && table[last][j-1] != 0) 
				{
					table[cur][j] = table[last][j-1]+2;

					if (table[cur][j] > len)
					{
						len = table[cur][j];
						index = i;
					}
				}
				else table[cur][j] = 0;
			}
		}
		return s.substr(index, len);
	}
};

下面就是实现上述思想的程序，时间复杂度O(n*n),空间复杂度O(n*n)

string longestPalindrome(string s) 
	{
		int n = s.length();
		vector<vector<bool> > table;
		vector<bool> temp(n, false);
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			table.push_back(temp);
			table[i][i] = true;
		}
		//Attention: Don't forget we need two centor for palindrome
		int subStartPoint = 0;
		int maxLength = 1;
		for (int i = 1; i < n; i++)
		{
			if (s[i-1] == s[i])
			{
				table[i-1][i] = true;
				subStartPoint = i-1;
				maxLength = 2;
			}
		}//for
		for (int k = 3; k <= n; k++)
		{
			for (int i = 0; i <= n-k; i++)
			{
				int j=k+i-1;
				if (s[i] == s[j] && table[i+1][j-1] == true)
				{
					table[i][j] = true;
					if(maxLength < k)
					{
						subStartPoint = i;
						maxLength = k;
					}
				}
			}//for(int i = 0...
		}//for(k=3...
		return s.substr(subStartPoint, maxLength);
	}

实际leetcode运行速度：

但是其实有更加简单的方法，实际运行速度更加快。
思想：
1. 以每个s[i]字符为中心，两边测试看以这个字符为中心的回文长度是多少
2. 以每两个字符s[i-1]s[i]为中心，测试这两个字符是否相等，和以这两个字符为中心的回文有多长
最后记录最大长度和最大长度子串起点

其实我觉得这个算法比前面的算法还好理解：

int testTwoSides(string &s, int low, int up)
	{
		int n = s.length();
		int max = 0;
		if (low == up)
		{
			low--;
			up++;
			max = 1;
		}
		while (low>=0 && up<n && s[low] == s[up])
		{
			max+=2;
			low--;
			up++;
		}
		return max;
	}

	string longestPalindrome(string s) 
	{
		int n = s.length();
		int subStartPoint = 0;
		int maxLength = 1;
		int temp = 0;
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			temp = testTwoSides(s, i, i);
			if (temp > maxLength)
			{
				subStartPoint = i - temp/2;
				maxLength = temp;
			}
		}
		for (int i = 1; i < n; i++)
		{
			temp = testTwoSides(s, i-1, i);
			if (temp > maxLength)
			{
				subStartPoint = i - temp/2;
				maxLength = temp;
			}
		}
		return s.substr(subStartPoint, maxLength);
	}

理论上这个算法的时间复杂度是O(n*n)，空间复杂度O(1);

记得前段时间看到某博主对于类似的这样的算法说成时间复杂度是O(n)，所以明确说明这个时间复杂度是：O(n*n)
计算起来有点麻烦，至于是如何计算的，因为牵涉单概率论的知识和算法时间复杂度计算基础知识，虽然不算很难的概率论知识，但是不是那么容易讲明白的。怕讲不好，而且也不用那么麻烦每个算法都那么正规的分析，不然就累死人额。

所以可以对于这个算法可以给出特定例子走一走，比如对于串aaaaaaaaaaa，那么它就是最坏情况的时间复杂了。
实际运行效果却是出奇的好：

2013/12/7 update:

上面的算法其实可以利用一个循环就可以了，不需要多一个循环，不过时间效率一样。应该可以稍微优化一点吧。

class Solution {
public:
	string longestPalindrome(string &s) 
	{
		int startPoint = 0;
		int maxLen = 1;
		for (int j = 1; j < s.length(); j++)
		{
			int t = testTwoSides(s, j, j);
			if (t > maxLen)
			{
				startPoint = j - t/2;
				maxLen = t;
			}
			t = testTwoSides(s, j-1, j);
			if (t > maxLen)
			{
				startPoint = j - t/2;
				maxLen = t;
			}
		}
		return s.substr(startPoint, maxLen);
	}
	
	int testTwoSides(string &s, int low, int up)
	{
		int n = s.length();
		int max = 0;
		if (low == up)
		{
			low--;
			up++;
			max = 1;
		}
		while (low>=0 && up<n && s[low] == s[up])
		{
			max+=2;
			low--;
			up++;
		}
		return max;
	}
};

leetCode网站上的分析的不错了：

http://leetcode.com/2011/11/longest-palindromic-substring-part-i.html